Центр поддержки одаренных детей ХКИРО

1. Номер автобусного билета – шестизначное число. Билет называется счастливым, если сумма трёх первых цифр номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.
Решение:Если счастливый билет имеет номер А, то билет с номером В=999999–А также счастливый, при этом А и В различны. Поскольку А+В=999999=1001·999=13·77·99 делится на 13, то и сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
2.Докажите, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении на 8 дать в остатке 7.
Решение:Любое целое число при делении на 8 имеет остатком одно из следующих восьми чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, поэтому квадрат целого числа имеет остатком при делении на 8 одно из трёх чисел 0, 1, 4. Чтобы при делении на 8 сумма квадратов трёх чисел имела остаток 7, необходимо, чтобы выполнялся один из двух случаев: либо один из квадратов, либо все три при делении на 8 имеют нечётные остатки.

В первом случае нечётный остаток есть 1, а сумма двух чётных остатков равна 0, 2, 4, то есть сумма всех остатков равна 1, 3, 5. Остатка 7 в этом случае получить нельзя. Во втором случае три нечётных остатка это три 1, и остаток всей суммы равен 3. Итак, 7 не может быть остатком при делении на 8 суммы квадратов трёх целых чисел.

Василиса Копылова, молодец,хорошие нашла задачи

Дорогие ребята! Какие интересные задачи, связанные с делимостью чисел, вы нашли! Радуют грамотные решения. Молодцы! Темами ваших исследовательских работ могут быть, например, и такие:
Удивительный мир натуральных чисел.
Числовые великаны и числовые карлики.
Тайны простых чисел.
Нерешенные вопросы арифметики.
Условия делимости: правила и признаки.
Способы нахождения наибольшего общего делителя чисел.
Теория остатков в решении задач.
Числовые головоломки.
Закономерности таблицы умножения.
Желаю вам удачи! С уважением Галина Владимировна.

Ребята, сообщаю вам о выборе некоторых тем для исследований среди вас
1.Удивительный мир чисел- Дружинина С.
2.Фигурные числа-Фахреева А.
3.Интересное на множестве натуральных чисел-Казелько А
4.Это замечательный квадрат-Анисимова ф
5.Применение теории остатков в решении задач-Бажайкина Л
6.Задачи на свойства квадрата-Бабина С
7.Прменение свойств куба в решении задач-Сидоренко С
Мы в ноябре проводим первую конференцию 6 классов, в январе будет вторая . Выбирайте темы выступлений.
А пока продолжаем выставлять интересные задачи на делимость

В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.
На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду.
Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду.
Сколько всего черепашек было в команде рептилий?
Ответ:

Если искомое число черепашек увеличить на 1, оно будет делиться на 2, 3, 4. Наименьшее общее кратное этих чисел 12.
Возьмем под подозрение числа, кратные 12, большие 50 и меньшие 100. Это будут числа: 60, 72, 84 и 96.

Искомое число должно быть на 1 меньше указанных чисел и делиться на 5.

Из нашего ряда подходит только число 96, так как: 96 - 1 = 95, получаем число, делящееся на 5.

Итак, 95 черепашек было в команде рептилий.Добавлено спустя 17 минутНа складе имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами (12), то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?
Так как число ножей и вилок (вместе) кратно 10 и 12, значит, оно делится на НОК (10 и12) = 60. .Между числами 300 и 400 только 360 делится на 60.
Ответ: Ножей 100, вилок 260.Добавлено спустя 18 минутБольше интересных задач здесь: http://www.math.kemsu.ru/kma/archiv/Olymp5-6/ZADDELR.htm#ТАК

София Толочко, молодец.Добавлено спустя 6 минутАнастасия Сергеева, молодецДобавлено спустя 7 минутсофья сидоренко, молодец

Вот ещё хорошая задачка.
Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 3,45 гривны,
коробку творога, стоимостью 3,6 гривны, 6 пирожных и 3 килограмма сахара.
Когда кассирша выбила чек на 29,6 гривны, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку.
Как определил покупатель, что счет неверен ?

Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м
(для товаров первых двух видов кратна 3-м цена, для остальных - количество купленных товаров).
Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делится на 3.
Число 29,6 на 3 не делится; следовательно, расчет неверен.

Условие задачи:
Отец и сын решили померять расстояние между двумя деревьями, для чего одновременно отошли от одного и того же дерева. Длина шага отца — 70 см, сына — 56 см. Найти расстояние между деревьями, если известно, что их следы совпали 10 раз.
Решение
По условию задачи длина шага отца – 70 см, сына – 56 см. Расстояние, которое должен пройти каждый, чтобы произошло первое совпадение шагов - это наименьшее число, которое одновременно делится на 70 и 56, т. е. НОК (70, 56).
НОК (70,56) = 280, значит пройдя 280 см произойдет первое совпадение шагов сына и отца.
По условию задачи, следы идущих совпали 10 раз, значит отец и сын прошли расстояние, равное 10 ∙ 280 = 2800 (см) , или 28 м которое и будет расстоянием между двумя деревьями.

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?Добавлено спустя 1 минутуВ строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.Добавлено спустя 4 минутыНаибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел а и в равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел а+2000в и в+2000а?

Оксана Харламова, хорошоДобавлено спустя несколько секундМаксим Лушкин, нет решения

задача:2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли их можно расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять людей, стоящих через одного?
Ответ:Не всегда. При перестановке через одного сохраняется чётность места. И если самый высокий стоит на чётном месте, то он никогда не станет первым.

Известный бизнесмен Андрей Крутой пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- долларовых купюр старого образца. Ему было выдано 1999 купюр достоинством 1, 5 и 25 долларов. Докажите, что его обсчитали

Решение:для решения этой задачи необходимо воспользоваться следующим известным утверждением: сумма любого числа четных чисел – четная, а нечетного числа нечетных чисел – нечетная. В нашем случае исходная сумма денег (сумма какого-то числа 50-долларовых и 100-долларовых купюр) – четная, а полученная сумма денег (сумма 1999 купюр по 1, 5 и 25 долларов) – нечетная.

Булгакова Елизавета, замечательная задача по теме"использование понятия четности в решении олимпиадных задач" Не хочешь такую тему для исследования? Очень интересная.

Для поездки с учениками за город школа заказала несколько одинаковых автобусов.
115 человек поехали на озеро, 138 - в лес. Все места в автобусах были заняты, и всем хватило места.

Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе

Ребята,я нашла интересную задачу:
Поскольку мест в автобусах не осталось, число детей, выехавших в каждом из двух направлений, кратно числу мест в автобусе.
Ответ:
Следовательно, число мест в автобусе - общий делитель чисел 115 и 138.
Для отыскания общего делителя воспользуемся правилом : общий делитель двух чисел является также общим делителем этих чисел и их разности.

138 - 115 = 23. Всего автобусов с детьми было :

(115 + 138)/23 = 11 автобусов.

Вот моя задача на делимость:
Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7
Ответ:686
Решение:Среди 999 чисел, меньших 1000, 199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199. В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142. Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35. Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28. Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее. Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313. В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел, которые не делятся ни на 5, ни на 7.