Центр поддержки одаренных детей ХКИРО

Здравствуйте, я представлю задачу на делимость:
Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел, так, чтобы их произведение равнялось 203.
Ответ:Нет нельзя
203 = 1*7*29
Никакая комбинация из чисел 1,7 и 29 не даст в сумме 203

Здравствуйте Наталья Леонидовна , вот не сколько задач на делимость :
1. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так , свободных рук не осталось . Докажите ,что число марсиан у которых нечётное число рук ,чётно.
Решение : Так как свободных рук не осталось , то общее число рук чётно . Общее число рук у марсиан с чётным числом рук всегда чётно , а у марсиан с нечётным числом рук общее число рук будет чётным только тогда, когда марсиан чётное число.

Здравствуйте, вот моя 1 задача:
Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - 2, на 4 - 3, на 5 - 4, на 6 - 5, на 7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 - 9.
Решение: если прибавить к искомому числу единицу, тогда полученное число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10. Таким наименьшим число является 10 * 9 * 4 * 7 = 2520, а искомое число на 1 меньше, т.е. 2519.
2 задача:
Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, такое, чтобы его первой цифрой была 3, а все остальные цифры были бы различны.
Решение: наибольшее пятизначное число, первая цифра которого 3, а остальные цифры различные, это 39876. Оно не делится на 9, но делится на 3, так как сумма его цифр равна 33. Из 9 идущих подряд чисел одно обязательно делится на 9. Если из числа 39876 вычесть 6, то получим 39870. Это число и является искомым, так как 39873 на 9 не делится.

Число делится на 25, если оно заканчивается на следующие комбинации цифр: 00, 25, 50, 75.
Число делится на 50, если оно четное и делится на 25.
Число делится на 75, если оно делится на 3 и на 25.
Число делится на 100, если оно кончается двумя нулями.

Здравствуйте, я бы хотел представть задачу на разложение множителей.
Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр котрого равно 6552. Докажите, что барон, как всегда неправ.
Решение:
6552= 2*2*2*3*3*7*13. Но цифры "13" не существует.

Отличная задача, Соня.Добавлено спустя 2 минутыОтличная задача,МишаДобавлено спустя 3 минутыОчень хорошие задачи, Лера.Добавлено спустя 5 минутОчень хорошо, Максим.

Здравствуйте, я решила выставить задачу, которая мне показалась занимательной:
Женщина несла на базар корзину яиц.
Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились.
Виновник несчастья, желая возместить потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине.
- Точно не помню, ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось.

Сколько яиц было в корзине ?

Ответ:
Если бы из корзины вынули одно яйцо, оставшееся количество яиц делилось бы нацело на 2, 3, 4, 5, и 6.
Числа, для которых это выполняется, - это 60 и числа, кратные 60-ти.
Задача сводится к нахождению числа, кратного 60-ти, которое делилось бы на 7 после добавления 1 ( или, иными словами, при делении на 7 давало бы остаток 6).

Число 60 при делении на 7 дает остаток 4. Следовательно, нужно найти число, кратное 4-ем, которое было бы на 6 больше числа, кратного 7-ми.

Это число - остаток от деления общего числа яиц на 7, оно равно
7· 2 +6 = 20. **

В этом числе остаток 4 содержится пятикратно, значит, первоначально в корзине было 60 · 5 + 1 = 301 яйцо.

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение. Да, найдутся, например, 1234568709, 123458907 и 1234598607.

Да,Наташа, занятная задачка.Добавлено спустя 2 минутыХорошая задача ,антон. Хотелось бы обоснования решения.

Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8..

решение:В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя.
Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9.

Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.Добавлено спустя 13 минутДелимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного.
Чему равны делимое, делитель и частное? решение:Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя.
Делитель в 6 раз больше частного и равен 36

Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.Добавлено спустя 14 минут

Зравстуйте, вот моя задача на делимость:
Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика
денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше
денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у
Шарика. Доказать, что изначально количество денег у Матроскина
делилось на 71 (имеется в виду, что у Матроскина и Шарика во
всех ситуациях было целое количество денег).
Решение:
Пусть у обоих персонажей перед походом за покупками было по x
рублей, а Матроскин израсходовал y рублей. Тогда по условию
имеем уравнение: x-y=9(x-8y) , откуда 8x=71y
Ввиду взаимной простоты чисел 8 и 71 следует, что x делится на
71, что и требовалось доказать.
Спасибо за внимание!

Здравствуйте, я хотела бы выставить задачу, которая показалась мне интересной.

Задача:
Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

Решение:
Нет, не может. После того как листок побывает в руках у богатыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т.е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33х изменений число станет нечётным, т.е. никак не сможет равняться 10.Добавлено спустя 6 минутА вот еще одна задача на делимость.

Задача:
Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар= 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?

Решение:
Сколько бы ни стоили спички, общая сумма, которую должен заплатить Билл, должна делиться на 3: цена бутылки делится на 3, и цена шести коробков спичек тоже делится на 3, даже если цена одного коробка на 3 не делится. Бармен, однако, назвал общую сумму, не кратную 3. Значит, сумма была подсчитана неверно.

Я в книге нашла отличные задачи!
Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры.
Коля живет на пятом этаже, в картире 83, а Вася - на 3-ем этаже в квартире 169.
Сколько этажей в доме ?


Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21- м этаже [83 : 4] = 20 (3).
В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей.16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем, поскольку Коля живет на 5 этаже).
Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого подъезда [169 : 4] = 42 (1).
Значит в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей. 40 делится на 8, но не делится на 16, следовательно, в доме 8 этажей.Добавлено спустя 5 минутЖенщина несла на базар корзину яиц.
Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились.
Виновник несчастья, желая возместить потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине.
- Точно не помню, ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось.
Сколько яиц было в корзине ?


Если бы из корзины вынули одно яйцо, оставшееся количество яиц делилось бы нацело на 2, 3, 4, 5, и 6.
Числа, для которых это выполняется, - это 60 и числа, кратные 60-ти.
Задача сводится к нахождению числа, кратного 60-ти, которое делилось бы на 7 после добавления 1 ( или, иными словами, при делении на 7 давало бы остаток 6).
Число 60 при делении на 7 дает остаток 4. Следовательно, нужно найти число, кратное 4-ем, которое было бы на 6 больше числа, кратного 7-ми.
Это число - остаток от деления общего числа яиц на 7, оно равно
7· 2 +6 = 20. **
В этом числе остаток 4 содержится пятикратно, значит, первоначально в корзине было 60 · 5 + 1 = 301 яйцо.

Здравствуйте
Вот моя задача:
Бином Ньютона*

Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.

Решение:

62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.

*Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных

эту задачку я нашла на сайте: http://bonsicky.do.am/news/zadachi_na_delimost_s_reshenijami_zadachi_na_delimost_avtor_polishhuk_ksenija_vjacheslavovna_9_b_klass/2014-07-18-40

Задача на делимость :
На плоскости расположены 7 шестерёнок , соединнёных цепочкой по кругу . Могут ли все шестерёнки цепочки вращяться ?