Центр поддержки одаренных детей ХКИРО

ЖИЛИ - БЫЛИ В СТРАНЕ "МАТЕМАТИКА " ДВА ДРУГА КРУГ И КВАДРАТ!
Однажды друг Квадрат решил зайти в гости к другу Кругу. Но Круга не было дома, он пошёл к другу треугольнику. Квадрат обиделся потому, что он не предупредил его, что пойдёт в гости к треугольнику. Он увидел около полянки плачущую дробь, она потеряла свой Знаменатель. Квадрат спросил её, почему она плачет? Она ему ответила, что потеряла свой Знаменатель. Квадрат сказал: "Давай я тебе помогу найти твой Знаменатель". Дробь согласилась. И они пошли искать Знаменатель. Идут они через поле, а там речка течёт. Как её перейти? Видят: по речке лебеди плывут. Подошли поближе, и оказалось, это двойки к ребятам плывут. К тем, чьи дроби потеряли числители или знаменатели. А на берегу Знаменатели и Числители плачут. "Вот он!" - закричала дробь, увидев свой знаменатель. Одна двойка тут же утонула. Двоечник был спасен. А ваши Двойки все еще плывут? А ваши Знаменатели все еще сидят на берегу и плачут?




В одной стране математических наук, жили знаки математики. Однажды Дробь гуляла с Числом, у Дроби была собака по кличке Задачка, а у Числа была кошка Деление. Задачка побежала за Делением. Число и дробь поcсорились. И они пошли домой. Число рассказало все своей маме, и дробь пожаловалась. Мамы поговорили и решили их помирить. Но тут к своим хозяевам вернулись Задачка и Деление. "Ну, раз уж кошка с собакой нашли общий язык, то вы и тем более" - сказали мамы. И Число с Дробью подумали : "А ведь и правда!" и опять стали друзьями!




Случилось это вечером. Однажды бежала маленькая точка домой. Бежала и увидела проволоку. Взяла она проволоку, повертела, покрутила и получилась кривая линия. Понравилась кривая линия точке и решила она её показать маме. Мама похвалила точку и уложила спать. А кривую линию отправила погулять. Так она до сих пор и гуляет из тетрадки в тетрадку.

1. Номер автобусного билета – шестизначное число. Билет называется счастливым, если сумма трёх первых цифр номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.
Решение:Если счастливый билет имеет номер А, то билет с номером В=999999–А также счастливый, при этом А и В различны. Поскольку А+В=999999=1001·999=13·77·99 делится на 13, то и сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
2.Докажите, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении на 8 дать в остатке 7.
Решение:Любое целое число при делении на 8 имеет остатком одно из следующих восьми чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, поэтому квадрат целого числа имеет остатком при делении на 8 одно из трёх чисел 0, 1, 4. Чтобы при делении на 8 сумма квадратов трёх чисел имела остаток 7, необходимо, чтобы выполнялся один из двух случаев: либо один из квадратов, либо все три при делении на 8 имеют нечётные остатки.

В первом случае нечётный остаток есть 1, а сумма двух чётных остатков равна 0, 2, 4, то есть сумма всех остатков равна 1, 3, 5. Остатка 7 в этом случае получить нельзя. Во втором случае три нечётных остатка это три 1, и остаток всей суммы равен 3. Итак, 7 не может быть остатком при делении на 8 суммы квадратов трёх целых чисел.

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. Соответственно, натуральные числа определяются как:

- числа, используемые при перечислении (нумеровании) предметов: 1, 2, 3, … (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России.

- числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются.

Множество Q - множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).
Множество Z - множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).